Il sistema concettuale e la categorizzazione – parte 2 – Il probabilismo baynesiano

Il sistema concettuale e la categorizzazione – parte 2 – Il probabilismo baynesiano

Nella parte precedente abbiamo iniziato a ragionare intorno al sistema concettuale. Per concetto si intende la rappresentazione mentale di un insieme di oggetti o eventi (categoria) e delle proprietà loro associate. Abbiamo inoltre visto suddiviso i concetti che si formano attraverso definizioni proposizionale e regole logico-matematiche [ad. esempio il triangolo è una porzione di piano delimitata da tre lati e tre angoli la cui somma è 180°] e concetti che non derivano da tali regole e che rappresentano la maggiorante degli oggetti che troviamo nel mondo empirico. Abbiamo introdotto la teoria dei prototipi [E. Rosch] secondo la quale i concetti sono rappresentati nella mente da un prototipo ovvero una rappresentazione di uno o più esemplari medi non necessariamente esistenti. Il riferimento a una “media” tra esemplari suggerisce che la logica di riferimento non sia quella logico-deduttiva del calcolo proposizionale, ma quella probabilistica di tipo baynesiano.
Cosa si intende per probabilismo baynesiano?
Nella sua forma più generale la regola di Bayes è:
p(H|D) = p(H) p(D|H) / p(D)
dove p indica la probabilità; H indica una ipotesi; D indica un dato (o un insieme di dati osservati); il simbolo |  una condizione.
P(H|D) è la probabilità a posteriori dell’ipotesi alla luce del dato osservato
p(H)     è la probabilità a priori dell’ipotesi, ovvero la fiducia riposta nell’ipotesi prima di osservare D
p(D|H) è la probabilità di osservare D a condizione che H sia vera
p(D)     è la probabilità complessiva del dato D a prescindere che H sia vera o falsa. 

Poiché un antecedente ipotetico H può essere vero o falso (indicando con ¬H) la sua falsità, possiamo esprimere p(D) in questo modo:
p(D)= p(H) p(D|H) + p(¬H) p(D|¬H)
La regola generale bayniana (in caso che la probabilità a posteriori sia vera) diventa:
p(H|D) = p(H) p(D|H) / p(H) p(D|H) + p(¬H) p(D|¬H)
In caso sia falsa:
p(¬H|D) = p(¬H) p(D|¬H) / p(H) p(D|H) + p(¬H) p(D|¬H).
Se facciamo il rapporto fra p(H|D) e p(¬H|D) esprimiamo quando varia la probabilità di H rispetto a quella di ¬H una volta osservato il dato D, rispetto a quanto lo era prima dell’osservazione.
Risolvendo matematicamente il rapporto troviamo questa espressione che viene chiamata forma a rapporti della regola di Bayes:
p(H|D)/ p(¬H|D) = p(H) / p(¬H) x p(D|H) / p(D|¬H)
Il rapporto p(D|H) / p(D|¬H) viene chiamato rapporto di Bayes e assume un’estrema importanza per la comprensione del mondo del quotidiano e della nostra comprensione di esso.
Infatti il rapporto di Bayes di un dato D verso una ipotesi H può essere indicato con la sigla LRD (H)
dove LR significa Likelihood ratio, Rapporto di verosimiglianza

Andando oltre tali formule matematiche, quali sono le conseguenze di questo ragionamento? Abbiamo visto che la formazione dei nostri concetti della vita quotidiana, non potendo godere della certezza delle regole logico-formali, si basa su una logica di tipo probabilistico, di verosimiglianza.
Secondo Platone, l’essere degli enti sensibili, soggetti al divenire, è coglibile tramite percezione, ed è oggetto di una conoscenza probabile il cui correlato è δοζα, l’opinione secondo un grado di πίστις, credenza. Tutti i discorsi che riguardano la realtà fisica, di ciò che è generato e sottostà alle leggi del divenire, non possono ambire ad altro che ad una connotazione di verosimiglianza proprio perché l’oggetto sui quali vertono non ha una natura stabile.
Il rapporto bayesiano è interessante perché introduce nel nostro rapporto con il mondo di enti fenomenici, analogie con i concetti di “credenza” e “verosimiglianza” già trattati da Platone.

«I discorsi che si fanno intorno a ciò che fu ritratto su quel modello, e che quindi è immagine – gli oggetti che sono ontologicamente determinati dal divenire – sono a loro volta verosimili …ma se presenteremo ragionamenti verosimili allora dobbiamo anche accontentarci, ricordandoci che io che parlo e voi che giudicate abbiamo una natura umana: cosicché, accettando intorno a queste cose la narrazione probabile, conviene che non ricerchiamo più in là» [Platone, Timeo 29c1-2 … 29d1-3).

Nicola Carboni